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设z1、z2、z3三点适合条件： z1+z2+z3=0及｜z1｜—｜z2｜—｜z3｜=1． 试证明z1、z2、z3是一个内接于单位圆周｜z｜=1的正三角形的顶点．
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参考解答
432***103
2024-11-21 16:31:57
正确答案：由题设｜z1｜=｜z2｜=｜z3｜=1可设 zk=
k=123 由题设z1+z2+z3=0可得 
=0从而cosθ1+cosθ2+cosθ3=0sinθ1+sinθ2+sinθ3=0．所以(cosθ1+cosθ2)2+(sinθ1+sinθ2)。 =(一cosθ3)2+(一sinθ4)2即2+2cos θ1 cos θ2+2sin θ1 sin θ2=1．
所以z1z2z3为内接于单位圆周的正三角形的顶点．
由题设｜z1｜=｜z2｜=｜z3｜=1,可设zk=,k=1,2,3,由题设z1+z2+z3=0,可得=0,从而cosθ1+cosθ2+cosθ3=0,sinθ1+sinθ2+sinθ3=0．所以(cosθ1+cosθ2)2+(sinθ1+sinθ2)。=(一cosθ3)2+(一sinθ4)2,即2+2cosθ1cosθ2+2sinθ1sinθ2=1．所以z1,z2,z3为内接于单位圆周的正三角形的顶点．
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