设向量组α1 α2 α31线性无关。非零向量β与α1 α2 α31均正交 试证明α1 α2 α31

正确答案：设有数k₁k₂k₃k使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+kβ=0 (1)由于非零向量β与α₁α₂α₃均正交则 (βα₁)=(βα₂)=(βα₃)=0即 β^Tα₁=β^Tα₂=β^Tα₃=0用β^T左乘(1)式两端有 kβ^Tβ=0而 β^Tβ=||P||²≠0所以 k=0。将上式代回(1)式得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0又向量组α₁α₂α₃线性无关得k₁=k₂=k₃=k=0因此向量组α₁α₂α₃β线性无关。
设有数k1,k2,k3,k使得k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0(1)由于非零向量β与α1,α2,α3均正交,则(β,α1)=(β,α2)=(β,α3)=0,即βTα1=βTα2=βTα3=0,用βT左乘(1)式两端,有kβTβ=0,而βTβ=||P||2≠0,所以k=0。将上式代回(1)式,得k1α1+k2α2+k3α3=0,又向量组α1,α2,α3线性无关,得k1=k2=k3=k=0,因此,向量组α1,α2,α3,β线性无关。