设(1)f(z)在｜z｜≤1上连续；(2)对任意的r(0＜r＜1) ∫|z|=rf(z)dz=0
设(1)f(z)在｜z｜≤1上连续；(2)对任意的r(0＜r＜1)， ∫|z|=rf(z)dz=0， 试证 ∫|z|=1f(z)dz=0．
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参考解答
420***103
2024-11-21 08:08:57
正确答案：因为f(z)在闭域｜z｜≤1上连续故f(z)在｜z｜≤1上一致连续即对
＞0对｜z｜≤1上任意两点z'z'只要｜z'一z'｜＜δ就有｜f(z')一f(z')＜ε取ρ＞1一δ(δ＜1)于是对任何两点z'=eiφz'=ρeiφ(0≤φ≤2π)有｜z'一z'｜=1一ρ＜δ故｜f(eiφ一f(ρeiφ)｜＜ε 而∫|z|=ρf(z)d(z)=0．所以
因而∫|z|=1f(z)dz=0．
因为f(z)在闭域｜z｜≤1上连续,故f(z)在｜z｜≤1上一致连续,即对＞0,对｜z｜≤1上任意两点z',z',只要｜z'一z'｜＜δ,就有｜f(z')一f(z')＜ε,取ρ＞1一δ(δ＜1),于是对任何两点z'=eiφ,z'=ρeiφ(0≤φ≤2π),有｜z'一z'｜=1一ρ＜δ,故｜f(eiφ一f(ρeiφ)｜＜ε,而∫|z|=ρf(z)d(z)=0．所以因而∫|z|=1f(z)dz=0．
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