设解析函数w=f(z)=P(x y)+iQ(x y)的实部P只为u=x2+Ay2的函数 试求常数A之

正确答案：因P必为Laplace方程之解而因P'与P'只能为u的函数故上式右端亦只能为u的函数由此即得A应有之值为A=1或A=一1． (1)当A=1此时u=x²+y²。 =eln z+k(z≠0∞)(e为实常数k为复常数)．这里ln z是Ln z的主值支故f(z)在沿负实轴割破的z平面上解析．(2)当A=一1时u=x²一y²而P适合P'=0所以P=C+C'=C(x²一y²)+C'．由C—R方程 所以 Q=2C∫(ydx+xdy)+C'=2C_xy+C'．于是 f(z)=C(x²一y²+2ixy)+C'+iC' =C(x+iy)²+C'+iC'=C+k这里C为实常数k为复常数f(z)在z平面上解析．
因P必为Laplace方程之解,而因P'与P'只能为u的函数,故上式右端亦只能为u的函数,由此即得A应有之值为A=1或A=一1．(1)当A=1,此时u=x2+y2。=elnz+k(z≠0,∞)(e为实常数,k为复常数)．这里lnz是Lnz的主值支,故f(z)在沿负实轴割破的z平面上解析．(2)当A=一1时,u=x2一y2,而P适合P'=0,所以P=C+C'=C(x2一y2)+C'．由C—R方程所以Q=2C∫(ydx+xdy)+C'=2Cxy+C'．于是f(z)=C(x2一y2+2ixy)+C'+iC'=C(x+iy)2+C'+iC'=C+k,这里C为实常数,k为复常数,f(z)在z平面上解析．