若函数f(z)在区域D内解析 C为D内以a b为端点的直线段． 试证：存在数λ ｜λ｜≤1 与ξ∈C

正确答案：由题设f'(z)在D内含C之单连通子区域内解析｜f(b)一f(a)｜=｜∫_a^bf'(z)dz｜≤∫_a^b｜f'(z)｜｜dz｜ ①考虑到｜f'(z)｜在有界闭集C上的连续性必存在点ξ∈C使得｜f'(ξ)｜是｜f'(z)｜在C上的最大值． ∫_a^b｜f'(z)｜｜dz｜≤｜f'(ξ)｜｜b一a｜． ②由①②得 ｜f(b)一f(a)｜≤｜f'(ξ)｜｜b一a｜． ③如果η∈C都有f'(η)=0则沿Cf'(z)≡0于是沿Cf(z)为常数故f(b)=f(a)即题中等式成立．如果存在ξ∈C使f'(ξ)≠0且是｜f'(z)｜在C上的最大值则令λ=≤1由③式可得．
由题设,f'(z)在D内含C之单连通子区域内解析,｜f(b)一f(a)｜=｜∫abf'(z)dz｜≤∫ab｜f'(z)｜｜dz｜①考虑到｜f'(z)｜在有界闭集C上的连续性,必存在点ξ∈C,使得｜f'(ξ)｜是｜f'(z)｜在C上的最大值．∫ab｜f'(z)｜｜dz｜≤｜f'(ξ)｜｜b一a｜．②由①,②得｜f(b)一f(a)｜≤｜f'(ξ)｜｜b一a｜．③如果η∈C,都有f'(η)=0,则沿C,f'(z)≡0,于是沿C,f(z)为常数,故f(b)=f(a),即题中等式成立．如果存在ξ∈C,使f'(ξ)≠0,且是｜f'(z)｜在C上的最大值,则令λ=≤1由③式可得．