设A=(αij)为实数域上的n级矩阵 证明:如果请帮忙给出正确答案和分析 谢谢!
设A=(αij)为实数域上的n级矩阵,证明:
如果
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:若|A|=0则A的列向量组α1α2……αn线性相关故存在不全为零的实数k1k2……kn使k1α1+k2α2+…knαn=0.于是不妨设|k1|是|k1||k2|……|kn|中的最大数当然|k1|>0.由上面第一个等式得|α11k1|=|-α12k2-…-α1nkn|即有|α12k1|≤|α12||k2|+…+|α1n||kn|≤|α12||k1|+…+|α1n||k1|约去|k1|得|α11|≤|α12|+…+|α1n|与题设|α11|>|α12|+…+|α1n|矛盾.故|A|≠0.
若|A|=0,则A的列向量组α1,α2……αn线性相关,故存在不全为零的实数k1,k2……kn,使k1α1+k2α2+…knαn=0.于是不妨设|k1|是|k1|,|k2|……,|kn|中的最大数,当然|k1|>0.由上面第一个等式得|α11k1|=|-α12k2-…-α1nkn|即有|α12k1|≤|α12||k2|+…+|α1n||kn|≤|α12||k1|+…+|α1n||k1|约去|k1|得|α11|≤|α12|+…+|α1n|与题设|α11|>|α12|+…+|α1n|矛盾.故|A|≠0.
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