设n维向量组α1 α2 … αn 线性无关 证明：对于任意m-1个数k1 k2 … km-1 向量组

正确答案：设有x₁x₂…x_m使得x₁β₁+x₂β₂+…+x_m-1β_m-1+x_mα_m=0成立即 x₁(α₁+k₁α_m)+x₂(α₂+k₂α_m)+…+x_m-1(α_m-1+k_m-1α_m)+x_mα_m=0亦即x₁α₁+x₂α₂+…+x_m-1α_m-1+(x₁k₁+x₂k₂+…+x_m-1k_m-1+x_m)α_m=0由题设向量组α₁ α₂…α_m线性无关则有故方程组有唯一零解即x₁=0x₂=0…x_m-1=0x_m=0因此向量组β₁β₂…β_m-1α_m线性无关。
设有x1,x2,…,xm,使得x1β1+x2β2+…+xm-1βm-1+xmαm=0成立,即x1(α1+k1αm)+x2(α2+k2αm)+…+xm-1(αm-1+km-1αm)+xmαm=0,亦即x1α1+x2α2+…+xm-1αm-1+(x1k1+x2k2+…+xm-1km-1+xm)αm=0,由题设,向量组α1,α2,…,αm,线性无关,则有故方程组有唯一零解,即x1=0,x2=0,…,xm-1=0,xm=0,因此向量组β1,β2,…,βm-1,αm线性无关。