是否所有的n阶方阵都一定能对角化?请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：不一定。由于n阶方阵A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量而当A的特征方程有重根的时候A的线性无关的特征向量未必能有n个因此A未必能对角化。例如的特征值为λ₁=λ₂=3(二重根)λ₃=-2。对应于λ₁=λ₂=3的线性无关的特征向量为对应于λ₃=-2的线性无关的特征向量为A的线性无关的特征向量个数为2＜3此时A不能对角化。又如的特征值为λ₁=4λ₂=1λ₃=2。对应于λ₁=4的特征向量为对应于λ₂=l的特征向量为对应于λ₃=2的特征向量为因此A的线性无关的特征向量恰好为3个此时A一定可以对角化。令则P可逆且
不一定。由于n阶方阵A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量,而当A的特征方程有重根的时候,A的线性无关的特征向量未必能有n个,因此A未必能对角化。例如,的特征值为λ1=λ2=3(二重根),λ3=-2。对应于λ1=λ2=3的线性无关的特征向量为对应于λ3=-2的线性无关的特征向量为A的线性无关的特征向量个数为2＜3,此时A不能对角化。又如,的特征值为λ1=4,λ2=1,λ3=2。对应于λ1=4的特征向量为对应于λ2=l的特征向量为对应于λ3=2的特征向量为因此A的线性无关的特征向量恰好为3个,此时A一定可以对角化。令则P可逆,且