设向量组α1 α2 … αm线性无关 向量β1可用它们线性表示 β2不能用它们线性表示 证明向量组α

正确答案：证明 设有实数k₁k₂…k_mk使得 k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m+k(λβ₁+β₂)=θ 则必有k=0否则 λβ₁+β₂= -(k₁/k)α₁-(k₂/k)α₂-…-(k_m/k)α_m (1) 又向量β₁可用向量组α₁α₂…α_m线性表示故存在l₁l₂…l_m使得 β₁=l₁α₁+l₂α₂+…+l_mα_m (2) 由式(1)、式(2)可得 β₂=(-λl₁-k₁/k)α₁+(-λl₂-k₂/k)α₂+…+(-λl_m-k_m/k)α_m 这与β₂不能用α₁α₂…α_m线性表示矛盾于是有k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=θ 又因为α₁α₂…α_m线性无关故k₁k₂…k_m全为零所以α₁α₂…α_mλβ₁+β₂线性无关．
证明设有实数k1,k2,…,km,k使得k1α1+k2α2+…+kmαm+k(λβ1+β2)=θ,则必有k=0,否则,λβ1+β2=-(k1/k)α1-(k2/k)α2-…-(km/k)αm(1)又向量β1可用向量组α1,α2,…,αm线性表示,故存在l1,l2,…,lm使得β1=l1α1+l2α2+…+lmαm,(2)由式(1)、式(2)可得β2=(-λl1-k1/k)α1+(-λl2-k2/k)α2+…+(-λlm-km/k)αm,这与β2不能用α1,α2,…,αm线性表示矛盾,于是有k1α1+k2α2+…+kmαm=θ,又因为α1,α2,…,αm线性无关,故k1,k2,…,km全为零,所以α1,α2,…,αm,λβ1+β2线性无关．