已知向量组(Ⅰ)α1 α2 α3； (Ⅱ)α1 α2 α3 α4； (Ⅲ)α1 α2 α3 α5．如
已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3； (Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4 ．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
4j8***102
2024-11-15 08:40:42
正确答案：证明 因为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3所以α1α2α3线性无关而α1α2α3α4线性相关所以α4可由α1α2α3线性表示即存在数λ1λ2λ3使得α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3设有数k1k2k3k4使得 k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=θ将α4代入上式化简得 (k1-λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=θ 由r(Ⅲ)=4知α1α2α3α5线性无关所以
证明因为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,所以α1,α2,α3线性无关,而α1,α2,α3,α4线性相关,所以α4可由α1,α2,α3线性表示,即存在数λ1,λ2,λ3,使得α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3,设有数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=θ,将α4代入上式,化简得(k1-λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=θ,由r(Ⅲ)=4知α1,α2,α3,α5线性无关,所以
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