设向量组α1 α2 … αs线性无关 作线性组合β1=α1+μ1αs β2=α2+μ2αs … βs
设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
413***102
2024-11-15 08:38:36
正确答案：证明 设存在k1k2…ks-1使得k1β1+k2β2+…+ks-1βs-1=θ即k1(α1+μ1αs)+k2(α2+μ2αs)+…+ks-1(αs-1+μs-1αs)=θ展开整理得： k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1+(k1μ1+k2μ2+…+ks-1μs-1)αs=θ 由题设α1α2…αs线性无关所以 k1=k2=…=ks-1=k1μ1+k2μ2+…+ks-1μs-1=0 故β1β2…βs-1线性无关．
证明设存在k1,k2,…,ks-1,使得k1β1+k2β2+…+ks-1βs-1=θ,即k1(α1+μ1αs)+k2(α2+μ2αs)+…+ks-1(αs-1+μs-1αs)=θ,展开整理得：k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1+(k1μ1+k2μ2+…+ks-1μs-1)αs=θ,由题设,α1,α2,…,αs线性无关,所以k1=k2=…=ks-1=k1μ1+k2μ2+…+ks-1μs-1=0,故β1,β2,…,βs-1线性无关．
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