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设有齐次线性方程组Ax＝0和Ax＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题： ①若Ax＝0的解均是Ax＝0的解，则r(A)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解； ③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A)＝r(B)； ④若r(A)＝r(B)，则Ax＝0与Bx＝0同解． 以上命题正确的是
A．①②．
B．①③．
C．②④．
D．③④．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
4j8***102
2024-11-15 08:29:53
正确答案：B
[分析本题也可找反例用排除法进行分析，但①和②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项．[详解若Ax＝0与Bx＝0同解，则n－r(A)＝n－r(B)，即r(A)＝r(B)，命题③成立，可排除(A)，(C)；但反过来，若r(A)＝r(B)，则不能推出Ax＝0与Ax＝0同解，如，则r(A)＝r(B)＝1，但Ax＝0与Bx＝0与Bx＝0不同解，可见命题④不成立，排除(D)，故应选(B)．[评注Ax＝0与Bx＝0同解的充要条件是A，B的行向量组等价．
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