设向量组α1 α2 … αm线性无关．证明：当且仅当n为奇数时 向量组α1+α2 α2+α3 … α

正确答案：设有k₁k₂…k_n使k₁(α₁+α₂)+k₂(α₂+α₃)+…+k_n(α_n+α₁)=0进一步整理有：(k₁+k_n)α₁+(k₁+k₂)α₂+…+(k_n-1+k_n)α_n=0．但由于α₁α₂…α_n线性无关故k_n+k₁=0 (1) k₁+k₂=0 (2)k₂+k₃=0 (3)……………；k_n-1+k_n=0 (n)(1)+(2)+…+(n)得2(k₁+k₁+…+k_n)=0即k₁+k₂+k₃+k₄+…+k_n=0．当n为奇数时由(2)至(n一1)式及上式可得k_n=0．由此再根据(1)～(n)式得k₁=k₂=…=k_n-1=k_n=0即α₁+α₂α₂+α₃…α_n-1+α_nα_n+α₁线性无关．当n为偶数时由方程(1)～(n)所构成的方程组有非零解其中k₁=1k₂=一1k₃=1k₄=一1…k_n-1=1k_n=一1就是其一解．从而向量组α₁+α₂α₂+α₃…α_n+α₁ 线性相关．因此当且仅当行为奇数时向量组α₁+α₂α₂+α₃…α_n+α₁线性无关．
设有k1,k2,…,kn,使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+kn(αn+α1)=0,进一步整理有：(k1+kn)α1+(k1+k2)α2+…+(kn-1+kn)αn=0．但由于α1,α2,…,αn线性无关,故kn+k1=0(1)k1+k2=0(2)k2+k3=0(3)……………；kn-1+kn=0(n)(1)+(2)+…+(n)得2(k1+k1+…+kn)=0即k1+k2+k3+k4+…+kn=0．当n为奇数时,由(2)至(n一1)式及上式可得kn=0．由此再根据(1)～(n)式得k1=k2=…=kn-1=kn=0,即α1+α2,α2+α3,…,αn-1+αn,αn+α1线性无关．当n为偶数时,由方程(1)～(n)所构成的方程组有非零解,其中k1=1,k2=一1,k3=1,k4=一1,…,kn-1=1,kn=一1就是其一解．从而向量组α1+α2,α2+α3,…,αn+α1线性相关．因此,当且仅当行为奇数时向量组α1+α2,α2+α3,…,αn+α1线性无关．