设向量组α1 α2 … αm线性无关.证明:当且仅当n为奇数时 向量组α1+α2 α2+α3 … α
设向量组α1,α2,…,αm线性无关.证明:当且仅当n为奇数时,向量组α1+α2,α2+α3,…,αn-1+αn,αn+α1也线性无关.
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参考解答
正确答案:设有k1k2…kn使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+kn(αn+α1)=0进一步整理有:(k1+kn)α1+(k1+k2)α2+…+(kn-1+kn)αn=0.但由于α1α2…αn线性无关故kn+k1=0 (1) k1+k2=0 (2)k2+k3=0 (3)……………;kn-1+kn=0 (n)(1)+(2)+…+(n)得2(k1+k1+…+kn)=0即k1+k2+k3+k4+…+kn=0.当n为奇数时由(2)至(n一1)式及上式可得kn=0.由此再根据(1)~(n)式得k1=k2=…=kn-1=kn=0即α1+α2α2+α3…αn-1+αnαn+α1线性无关.当n为偶数时由方程(1)~(n)所构成的方程组有非零解其中k1=1k2=一1k3=1k4=一1…kn-1=1kn=一1就是其一解.从而向量组α1+α2α2+α3…αn+α1 线性相关.因此当且仅当行为奇数时向量组α1+α2α2+α3…αn+α1线性无关.
设有k1,k2,…,kn,使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+kn(αn+α1)=0,进一步整理有:(k1+kn)α1+(k1+k2)α2+…+(kn-1+kn)αn=0.但由于α1,α2,…,αn线性无关,故kn+k1=0(1)k1+k2=0(2)k2+k3=0(3)……………;kn-1+kn=0(n)(1)+(2)+…+(n)得2(k1+k1+…+kn)=0即k1+k2+k3+k4+…+kn=0.当n为奇数时,由(2)至(n一1)式及上式可得kn=0.由此再根据(1)~(n)式得k1=k2=…=kn-1=kn=0,即α1+α2,α2+α3,…,αn-1+αn,αn+α1线性无关.当n为偶数时,由方程(1)~(n)所构成的方程组有非零解,其中k1=1,k2=一1,k3=1,k4=一1,…,kn-1=1,kn=一1就是其一解.从而向量组α1+α2,α2+α3,…,αn+α1线性相关.因此,当且仅当行为奇数时向量组α1+α2,α2+α3,…,αn+α1线性无关.
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