证明设f是定义在Rn上的凸函数 x(1) x(2) … x(k)是Rn中的点 λ1 λ2 … λk是
证明设f是定义在Rn上的凸函数，x(1)，x(2)，…，x(k)是Rn中的点，λ1，λ2，…，λk是非负数，且满足λ1＋λ2＋…＋λk
设f是定义在Rn上的凸函数，x(1)，x(2)，…，x(k)是Rn中的点，λ1，λ2，…，λk是非负数，且满足λ1+λ2+…+λk=1，证明： f(λ1x(1)+λ2x(2)+…+λkx(k))≤λ1f(x(1))+λ2f(x(2))+…+λkf(x(k))．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
481***102
2024-11-14 22:21:57
正确答案：用数学归纳法．当k=2时根据凸函数的定义必有 f(λ1x(1)+λ2x(2))≤λ1f(x(1))+λ2f(x(2))． 设k=m时不等式成立．当k=m+1时有 f(λ1x(1)+λ2x(2)+…+λmxm+λm+1x(m+1))
由于f(x)是凸函数
根据凸函数定义有
根据归纳法假设有
代入上式则有 f(λ1x(1)+λ2x(2)+…+λm+1x(m+1))≤λ1f(x(1))+λ2f(x(2))+…+λm+1f(x(m+1))即k=m+1时不等式也成立．从而得证．
用数学归纳法．当k=2时,根据凸函数的定义,必有f(λ1x(1)+λ2x(2))≤λ1f(x(1))+λ2f(x(2))．设k=m时不等式成立．当k=m+1时,有f(λ1x(1)+λ2x(2)+…+λmxm+λm+1x(m+1))由于f(x)是凸函数,,根据凸函数定义,有根据归纳法假设,有代入上式,则有f(λ1x(1)+λ2x(2)+…+λm+1x(m+1))≤λ1f(x(1))+λ2f(x(2))+…+λm+1f(x(m+1)),即k=m+1时,不等式也成立．从而得证．
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