设S={x|Ax≥b} 其中A是m×n矩阵 m＞n A的秩为n．证明x(0)是S的极点的充要条件是A

正确答案：先证必要性．设x⁽⁰⁾是S的极点．用反证法．设Ab在点x⁽⁰⁾分解如下：A₁的秩R(A₁)＜n．A₁x=b₁的同解线性方程组记作[B N其中B是可逆矩阵．相应地记A₁x=b₁的解为 (1)其中x_N是自由未知量是n一R(A₁)维向量．S的极点由于A₂x⁽⁰⁾＞b₂则存在x_N⁽⁰⁾的δ邻域N_δ(x_N⁽⁰⁾)使得当x_N ∈ N_δ(x_N⁽⁰⁾)时解(1)同时满足A₁x=b₁和A₂x≥b₂．在过x_N⁽⁰⁾的直线上取不同点x_N⁽¹⁾x_N⁽²⁾∈N_δ(x_N⁽⁰⁾)使λx_N⁽¹⁾+(1一λ)x_N⁽²⁾=x_N⁽⁰⁾λ∈(01)代入(2)式得到这样可将x⁽⁰⁾表示成集合S中两个不同点的凸组合矛盾． 再证充分性．设在点x⁽⁰⁾Ab可作如下分解(其中A₁是n阶方阵)： A₁x⁽⁰⁾=b₁A₂x⁽⁰⁾≥b₂ R(A₂)=n．又设存在x⁽¹⁾x⁽²⁾∈S使得 x⁽⁰⁾=λx⁽¹⁾+(1一λ)x⁽²⁾ λ∈(01)． (3)用可逆矩阵A₁乘(3)式两端得 A₁x⁽⁰⁾=λA₁x⁽¹⁾+(1一λ)A₁x⁽²⁾． (4)由于A₁x⁽⁰⁾=b₁A₁x⁽¹⁾≥b₁A₁x⁽²⁾≥b₁及λ1一λ＞0代入(4)式则得 b₁=A₁x⁽⁰⁾=λA₁x⁽¹⁾+(1一λ)A₁x⁽²⁾≥λb₁+(1一λ)b₁=b₁因此有 λA₁x⁽¹⁾+(1一λ)A₁x⁽²⁾=λb₁+(1一λ)b₁移项整理即 λ(A₁x⁽¹⁾一b₁)+(1一λ)(A₁x⁽²⁾一b₁)=0．由于λ1一λ＞0A₁x⁽¹⁾一b₁≥0A₁x⁽²⁾一b₁≥0因此A₁x⁽¹⁾一b₁=0A₁x⁽²⁾一b₁=0从而得到 A₁x⁽⁰⁾=A₁x⁽¹⁾=A₁x⁽²⁾=b₁．左乘A₁^-1则 x⁽⁰⁾=x⁽¹⁾=x⁽²⁾．因此x⁽⁰⁾是极点．
先证必要性．设x(0)是S的极点．用反证法．设A,b在点x(0)分解如下：A1的秩R(A1)＜n．A1x=b1的同解线性方程组记作[BN,其中B是可逆矩阵．相应地记A1x=b1的解为(1)其中,xN是自由未知量,是n一R(A1)维向量．S的极点由于A2x(0)＞b2,则存在xN(0)的δ邻域Nδ(xN(0)),使得当xN∈Nδ(xN(0))时,解(1)同时满足A1x=b1和A2x≥b2．在过xN(0)的直线上取不同点xN(1),xN(2)∈Nδ(xN(0)),使λxN(1)+(1一λ)xN(2)=xN(0),λ∈(0,1),代入(2)式,得到这样,可将x(0)表示成集合S中两个不同点的凸组合,矛盾．再证充分性．设在点x(0),A,b可作如下分解(其中A1是n阶方阵)：A1x(0)=b1,A2x(0)≥b2,R(A2)=n．又设存在x(1),x(2)∈S,使得x(0)=λx(1)+(1一λ)x(2),λ∈(0,1)．(3)用可逆矩阵A1乘(3)式两端,得A1x(0)=λA1x(1)+(1一λ)A1x(2)．(4)由于A1x(0)=b1,A1x(1)≥b1,A1x(2)≥b1及λ,1一λ＞0,代入(4)式,则得b1=A1x(0)=λA1x(1)+(1一λ)A1x(2)≥λb1+(1一λ)b1=b1,因此有λA1x(1)+(1一λ)A1x(2)=λb1+(1一λ)b1,移项整理,即λ(A1x(1)一b1)+(1一λ)(A1x(2)一b1)=0．由于λ,1一λ＞0,A1x(1)一b1≥0,A1x(2)一b1≥0,因此A1x(1)一b1=0,A1x(2)一b1=0,从而得到A1x(0)=A1x(1)=A1x(2)=b1．左乘A1-1,则x(0)=x(1)=x(2)．因此x(0)是极点．