设向量组α1 …αs线性无关 β=b1α1+…+bsαs．如果对于某个bi≠0 则用β替换αi以后得

正确答案：设存在k_sk_s…k_s使得k₁α₁+k₂α₂+…+k_i-1α_i-1+k_iβ+k_i+1α_i+1+…+k_sα_s=0．因为β=b₁α₁+…+b_iα_i+…+b_sα_s．所以有k₁α₁+k₂α₂+…+k_i-1α_i-1+k_i(b₁α₁+b₂α₂+…+b_sα_s)+…+k_sβ_s=0进一步整理可得(k₁+k_ib₁)α₁+(k₂+k_ib₂)α₂+…+(k_i-1+k_ib_i-1)α_i-1+k_ib_iα_i+(k_i+k₁b_i+1)α_i+1+…+(k_s+k_ib_i)α_s=0．由于α₁α₂…α_s线性无关．所以因为b₁≠0所以k_i=0从而有k₁=k₂=k_i-1=k_i+1=k_s=0．即k₁=k₂…=k_s=0所以α₁α₂…α_i-1βα_i+1…α_s线性无关． 证毕
设存在ks,ks,…,ks,使得k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1+kiβ+ki+1αi+1+…+ksαs=0．因为β=b1α1+…+biαi+…+bsαs．所以有k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1+ki(b1α1+b2α2+…+bsαs)+…+ksβs=0,进一步整理可得(k1+kib1)α1+(k2+kib2)α2+…+(ki-1+kibi-1)αi-1+kibiαi+(ki+k1bi+1)αi+1+…+(ks+kibi)αs=0．由于α1,α2,…,αs,线性无关．所以因为b1≠0,所以ki=0,从而有k1=k2=ki-1=ki+1=ks=0．即k1=k2…=ks=0,所以α1,α2,…,αi-1,β,αi+1,…,αs线性无关．证毕