设f(z)为非常数的整函数 又设R M为任意正数.试证:满足|z|>R且|f(z)|>M的z必存在.
设f(z)为非常数的整函数,又设R,M为任意正数.试证:满足|z|>R且|f(z)|>M的z必存在.
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参考解答
正确答案:(反证法) 假设满足|z|>R且|f(z)|>M的z不存在则必存在某正数RM使得对于任何的z|z|>R时|f(z)|≤M.又由f(z)的连续性则当|z|≤R时f(z)必有最大值设其为M1.令M0=max{MM1则在|z|<+∞时有|f(z)|≤M0.于是f(z)在全平面上是有界的则由刘维尔定理f(z)必为常数矛盾.
(反证法)假设满足|z|>R且|f(z)|>M的z不存在,则必存在某正数R,M,使得对于任何的z,|z|>R时,|f(z)|≤M.又由f(z)的连续性,则当|z|≤R时,f(z)必有最大值,设其为M1.令M0=max{M,M1,则在|z|<+∞时,有|f(z)|≤M0.于是f(z)在全平面上是有界的,则由刘维尔定理,f(z)必为常数,矛盾.
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