试求初值问题 设函数f(t x)在平面上的条形区域G：a＜t＜b ｜x｜＜∞上连续 φ1(t) φ2

正确答案：设是域G中介于φ₁(t)φ₂(t)间的部分内的任一点．不妨设且a＜c＜t₀＜d＜b方程的解φ₁(t)φ₂(t)均在区间c＜t＜d上存在．不失一般性设t＜t₀．令．由Peano存在定理知所给方程过点的解x=φ(t)存在由解的延拓定理x=φ(t)必可向左右延拓到域G的边界特别地当x=φ(t)向右延拓时必与域G的边界曲线x=φ₁(t)或x=φ₂(t)相交不妨设x=φ(t)与曲线x=φ₁(t)相交于点(t*x*)则显然有．令显然x=φ*(t)是所给方程过点(t₀x₀)∈G的解．这样我们就证明了过域G中介于φ₁(t)φ₂(t)间的部分内的任一点都有方程过点(t₀x₀)∈G的解因此域G中介于φ₁(t)φ₂(t)间的部分被方程过点(t₀x₀)∈G的解充满．
设是域G中介于φ1(t),φ2(t)间的部分内的任一点．不妨设且a＜c＜t0＜d＜b,方程的解φ1(t),φ2(t)均在区间c＜t＜d上存在．不失一般性,设t＜t0．令．由Peano存在定理知所给方程过点的解x=φ(t)存在,由解的延拓定理,x=φ(t)必可向左右延拓到域G的边界,特别地当x=φ(t)向右延拓时必与域G的边界曲线x=φ1(t)或x=φ2(t)相交,不妨设x=φ(t)与曲线x=φ1(t)相交于点(t*,x*),则显然有．令显然x=φ*(t)是所给方程过点(t0,x0)∈G的解．这样我们就证明了过域G中介于φ1(t),φ2(t)间的部分内的任一点都有方程过点(t0,x0)∈G的解,因此域G中介于φ1(t),φ2(t)间的部分被方程过点(t0,x0)∈G的解充满．