求齐次线性方程 设a b c为正数．试证当t→＋∞时 方程 的每一个解都趋于零．设a b c为正数．

正确答案：该方程的特征方程为aλ²+bλ+c=0．令△=b²-4ac可分为如下三种情况讨论： (i)当△＞0时它有两个实特征根因此方程的通解为．由abC为正数可知λ₁＜0λ₂＜0．从而当t→+∞时解x(t)→0．(ii)当△=0时特征方程有实的重根．此时方程的通解为x(t)=．由于λ₁＜0易见当t→+∞时解x(t)→0．(iii)当△＜0时它有两个复特征根λ₁=a+iβλ₂=α一iβ其中方程的实通解为x(t)=e^αt(C₁cosβt+C₂sinβt)．由于α＜0故当t→+∞时仍有解x(t)→0．因此原方程的每一个解都趋于零．
该方程的特征方程为aλ2+bλ+c=0．令△=b2-4ac,可分为如下三种情况讨论：(i)当△＞0时,它有两个实特征根因此方程的通解为．由a,b,C为正数可知λ1＜0,λ2＜0．从而当t→+∞时,解x(t)→0．(ii)当△=0时,特征方程有实的重根．此时方程的通解为x(t)=．由于λ1＜0,易见当t→+∞时,解x(t)→0．(iii)当△＜0时,它有两个复特征根λ1=a+iβ,λ2=α一iβ其中方程的实通解为x(t)=eαt(C1cosβt+C2sinβt)．由于α＜0,故当t→+∞时,仍有解x(t)→0．因此原方程的每一个解都趋于零．