求齐次线性方程 求齐次线性方程的实通解：求齐次线性方程的实通解： 请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：(1)该方程的特征多项式为λ²+4因此特征根为±2i．故原方程有实基本解组cos 2tsin 2t．由此得实通解 x(t)=C₁cos 2t+C₂sin 2t其中C₁C₂为任意常数． (2)该方程的特征多项式为 λ³一λ²+2λ一2=(λ一1)(λ²+2)因此特征根为．故原方程有实基本解组．由此得实通解其中C₁C₂C₃为任意常数． (3)该方程的特征多项式为λ⁴+4因此特征根为l±i一1±i．故原方程有实基本解组e^tcoste^tsinte^-tcoste^-tsint．由此得实通解 x(t)=e^t(C₁cost+C₂sint)+e^t(C₃cost+C₄sint)其中C₁C₂C₃C₄为任意常数． (4)该方程的特征多项式为 λ⁴一2λ³+2λ一l=(λ一1)³(λ+1)因此特征根为1(三重根)一1．故原方程有实基本解组e^tte^tt²e^te^-t．由此得实通解 x(t)=e^t(C₁+C₂t+C₃t²)+C₄e^-t其中C₁C₂C₃C₄为任意常数．(5)该方程的特征多项式为λ²+4λ+4因此特征根为λ₁=λ₂=一2．从而实基本解组为e^-2tte^-2t．由此得实通解x(t)=C₁e^-2t+C₂te^-2t其中C₁C₂为任意常数．(6)该方程的特征方程λ²+2λ+4=0有复特征根因此实基本解组为从而该方程的实通解为其中C₁C₂为任意常数． (7)该方程的特征多项式为 λ³+4λ=λ(λ一2i)(λ+2i)因此特征根为λ₁=0λ₂=2iλ₃=一2i．从而实通解为 x(t)=C₁+C₂cos2t+C₃sin 2t其中C₁C₂C₃为任意常数． (8)该方程的特征多项式为 λ⁴+8λ²+16=(λ²+4)²因此特征根为λ₁=λ₂=2iλ₃=λ₄=一2i．从而实通解为 x(t)=(C₁+C₂t)cos 2t+(C₃+C₄t)sin 2t其中C₁C₂C₃C₄为任意常数．
(1)该方程的特征多项式为λ2+4,因此特征根为±2i．故原方程有实基本解组cos2t,sin2t．由此得实通解x(t)=C1cos2t+C2sin2t,其中C1,C2为任意常数．(2)该方程的特征多项式为λ3一λ2+2λ一2=(λ一1)(λ2+2),因此特征根为．故原方程有实基本解组．由此得实通解其中C1,C2,C3为任意常数．(3)该方程的特征多项式为λ4+4,因此特征根为l±i,一1±i．故原方程有实基本解组etcost,etsint,e-tcost,e-tsint．由此得实通解x(t)=et(C1cost+C2sint)+et(C3cost+C4sint),其中C1,C2,C3,C4为任意常数．(4)该方程的特征多项式为λ4一2λ3+2λ一l=(λ一1)3(λ+1),因此特征根为1(三重根),一1．故原方程有实基本解组et,tet,t2et,e-t．由此得实通解x(t)=et(C1+C2t+C3t2)+C4e-t,其中C1,C2,C3,C4为任意常数．(5)该方程的特征多项式为λ2+4λ+4,因此特征根为λ1=λ2=一2．从而实基本解组为e-2t,te-2t．由此得实通解x(t)=C1e-2t+C2te-2t,其中C1,C2为任意常数．(6)该方程的特征方程λ2+2λ+4=0有复特征根因此实基本解组为从而该方程的实通解为其中C1,C2为任意常数．(7)该方程的特征多项式为λ3+4λ=λ(λ一2i)(λ+2i),因此特征根为λ1=0,λ2=2i,λ3=一2i．从而实通解为x(t)=C1+C2cos2t+C3sin2t,其中C1,C2,C3为任意常数．(8)该方程的特征多项式为λ4+8λ2+16=(λ2+4)2,因此特征根为λ1=λ2=2i,λ3=λ4=一2i．从而实通解为x(t)=(C1+C2t)cos2t+(C3+C4t)sin2t,其中C1,C2,C3,C4为任意常数．