设A B分别是数域K上s×n n×s矩阵 证明:AB与BA有相同的非零特征值.请帮忙给出正确答案和分
设A、B分别是数域K上s×n,n×s矩阵,证明:AB与BA有相同的非零特征值.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:设λ0≠0是AB的一个特征值.则存在α≠0使(AB)α=20α两边左乘B可是 (BA)(Bα)=λ0(Bα)所以AB的非零特征值都是矩阵BA的特征值.同理可得BA的非零特征值都是AB的特征值.所以AB与BA有相同的非零特征值.
设λ0≠0是AB的一个特征值.则存在α≠0使(AB)α=20α两边左乘B,可是(BA)(Bα)=λ0(Bα)所以AB的非零特征值都是矩阵BA的特征值.同理可得BA的非零特征值都是AB的特征值.所以AB与BA有相同的非零特征值.
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