设A=(aij)为一个n级实矩阵 已知aij>0 i=1 2 … n 证明：rank(A)=n-1请

正确答案：将｜A｜的所有列都加到第1列上去由于故有｜A｜=0A不是满秩矩阵所以rank(A)≤n一1暂时设BX=0有非零解x=(x₁x₂……x_n)^T存在又设｜x_k｜=max{Ix_i｜i=23…n)则由有另一方面由于故所以①②矛盾故Bx=0只有零解从而｜B｜≠0B为满秩阵所以rank(A)≥n一1 而上面已证出rank(A)≤n一1所以rank(A)=n一1
将｜A｜的所有列都加到第1列上去,由于故有｜A｜=0,A不是满秩矩阵所以rank(A)≤n一1暂时设BX=0有非零解,x=(x1,x2……xn)T存在又设｜xk｜=max{Ixi｜i=2,3,…n)则由有另一方面,由于故所以①,②矛盾,故Bx=0只有零解从而｜B｜≠0,B为满秩阵所以rank(A)≥n一1而上面已证出rank(A)≤n一1所以rank(A)=n一1