证明设f是Rn上的凸函数 证明：如果f在某点X ∈Rn处具有全局极大值 则对一切点X ∈Rn f(x

正确答案：用反证法．设f(x)在点处具有全局极大值且在点x⁽¹⁾处有．在过点的直线上任取一点x⁽²⁾使得 =λx⁽¹⁾+(1一λ)x⁽²⁾ λ∈(01)．分两种情形讨论： (1)若f(x⁽²⁾)≤f(x⁽¹⁾)由于f(x)是凸函数必有=f(λx⁽¹⁾+(1一λ)x⁽²⁾) ≤λf(x⁽¹⁾)+(1一λ)f(x⁽²⁾) ≤λf(x⁽¹⁾)+(1一λ)f(x⁽¹⁾)=f(x⁽¹⁾)矛盾． (2)若f(x⁽²⁾)＞f(x⁽¹⁾)由于f(x)是凸函数必有 =f(λx⁽¹⁾+(1一λ)x⁽²⁾) ≤λf(x⁽¹⁾)+(1—λ)f(x⁽²⁾) ＜λf(x⁽²⁾)+(1一λ)f(x⁽²⁾)=f(x⁽²⁾)矛盾． 综上f(x)必为常数．
用反证法．设f(x)在点处具有全局极大值,且在点x(1)处有．在过点的直线上任取一点x(2),使得=λx(1)+(1一λ)x(2),λ∈(0,1)．分两种情形讨论：(1)若f(x(2))≤f(x(1)),由于f(x)是凸函数,必有=f(λx(1)+(1一λ)x(2))≤λf(x(1))+(1一λ)f(x(2))≤λf(x(1))+(1一λ)f(x(1))=f(x(1)),矛盾．(2)若f(x(2))＞f(x(1)),由于f(x)是凸函数,必有=f(λx(1)+(1一λ)x(2))≤λf(x(1))+(1—λ)f(x(2))＜λf(x(2))+(1一λ)f(x(2))=f(x(2)),矛盾．综上,f(x)必为常数．