证明设f是定义在Rn上的函数 如果对每一点x ∈Rn及正数t均有f(tx)=tf(x) 则称f为正齐
证明设f是定义在Rn上的函数，如果对每一点x ∈Rn及正数t均有f(tx)=tf(x)，则称f为正齐次函数．证明Rn
设f是定义在Rn上的函数，如果对每一点x ∈Rn及正数t均有f(tx)=tf(x)，则称f为正齐次函数．证明Rn上的正齐次函数f为凸函数的充要条件是，对任何x(1)，x(2)∈Rn，有 f(x(1)+x(2))≤f(x(1))+f(x(2))．
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参考解答
413***102
2024-11-14 22:28:58
正确答案：先证必要性．设正齐次函数f(x)是凸函数则对任意两点x(1)x(2)∈Rn必有
由于f(x)是正齐次函数有
代入前式得
即 f(x(1)+x(2)≤f(x(1))+f(x(2))． 再证充分性．设正齐次函数f(x)对任意的x(1)x(2)∈Rn满足 f(x(1)+x(2))≤f(x(1))+f(x(2))则对任意的x(1)x(2)∈Rn及每个数λ∈(01)必有 f(λx(1)+(1一λ)x(2)≤f(λx(1))+f((1一λ)x(2))=λf(x(1))+(1一λ)f(x(2))．因此f(x)是Rn上的凸函数．
先证必要性．设正齐次函数f(x)是凸函数,则对任意两点x(1),x(2)∈Rn,必有由于f(x)是正齐次函数,有代入前式得即f(x(1)+x(2)≤f(x(1))+f(x(2))．再证充分性．设正齐次函数f(x)对任意的x(1),x(2)∈Rn满足f(x(1)+x(2))≤f(x(1))+f(x(2)),则对任意的x(1),x(2)∈Rn及每个数λ∈(0,1),必有f(λx(1)+(1一λ)x(2)≤f(λx(1))+f((1一λ)x(2))=λf(x(1))+(1一λ)f(x(2))．因此f(x)是Rn上的凸函数．
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