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计算下列函数f(z)在其孤立奇点(包括无穷远点)处的留数． 计算下列各实积分： (1)I=∫02π sin2nxdx
计算下列各实积分： (1)I=∫02π sin2nxdx(n为自然数)； (2)I=
(m＞o，a＞0)．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
432***103
2024-11-21 05:11:35
正确答案：(1)由于sin2nx=[
(eix—e-ix)2n =(一1)n2-2nei2nx(1一e-2ix)2n 及∫02πsin2nxdx=2∫02πsin2nxdx 故令ei2x=z则｜e2ix｜=｜z｜一12ie2ixdx=dzdx=一
所以
由于z=0为f(z)=
的n+1阶极点且只有它在｜z｜=1的内部由公式知
(1)由于sin2nx=[(eix—e-ix)2n=(一1)n2-2nei2nx(1一e-2ix)2n,及∫02πsin2nxdx=2∫02πsin2nxdx,故令ei2x=z,则｜e2ix｜=｜z｜一1,2ie2ixdx=dz,dx=一所以由于z=0为f(z)=的n+1阶极点,且只有它在｜z｜=1的内部,由公式知
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