设(1)u(x y)为区域D内的调和函数；(2)圆｜z一a｜＜R全含于D．求证：当z=a+reiθ
设(1)u(x，y)为区域D内的调和函数；(2)圆｜z一a｜＜R全含于D．求证：当z=a+reiθ，r＜R时， u(r，θ)=Re f(a+reiθ) =
(ancos rθ+bnsin rθ)， 且展式是唯一的．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
4j8***103
2024-11-21 05:06:11
正确答案：由条件(1)知u(x．y)是D内的调和函数则也必为圆K：｜z一a｜＜R内的调和函数必在圆K内存在与u(xy)共轭的调和函数v(xy)使f(z)=u(xy)+iv(xy)在K内解析．所以在K内由泰勒定理可展开成z一a的幂级数：f(z)=
(z一a)nz∈K ① 且展式是唯一的． 此时引入以a为极点的极坐标(rθ)因而z=a+reiθ(r＜R)则①式化简
由①的唯一性故知⑦的唯一性．
由条件(1)知u(x．y)是D内的调和函数,则也必为圆K：｜z一a｜＜R内的调和函数,必在圆K内存在与u(x,y)共轭的调和函数v(x,y),使f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在K内解析．所以在K内由泰勒定理可展开成z一a的幂级数：f(z)=(z一a)n,z∈K①且展式是唯一的．此时引入以a为极点的极坐标(r,θ),因而z=a+reiθ(r＜R),则①式化简由①的唯一性故知⑦的唯一性．
相似问题
利用留数定理计算积分： 其中C为正向椭圆：x2一xy+y2+x+y=0(z=x+iy)．请帮忙给出
利用留数定理计算积分： 其中C为正向椭圆：x2一xy+y2+x+y=0(z=x+iy)．请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
设函数w=f(z)在｜z｜＜1内解析 且是将｜z｜＜1共形映射成｜w｜＜1的分式线性变换．试证 设函
设函数w=f(z)在｜z｜＜1内解析，且是将｜z｜＜1共形映射成｜w｜＜1的分式线性变换．试证 设函数w=f(z)在｜z｜设函数w=f(z)在｜z｜＜1内单叶解析，且将｜
求出圆｜z｜＜2到半平面Re w＞0的共形映射w=f(z) 使符合条件 f(0)=1 arg f(0
求出圆｜z｜＜2到半平面Re w＞0的共形映射w=f(z)，使符合条件 f(0)=1 arg f(0)=请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
函数f(z) g(z)分别以z=a为m阶极点及n阶极点．试问z=a为f(z)+g(z) f(z)g(
函数f(z)，g(z)分别以z=a为m阶极点及n阶极点．试问z=a为f(z)+g(z)，f(z)g(z)及f(z)／g(z)的什么点?请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
求出第一象限到上半平面的共形映射 使z= 0 1对应地变成w=一0 ∞ 一1．请帮忙给出正确答案和分
求出第一象限到上半平面的共形映射，使z=，0，1对应地变成w=一0，∞，一1．请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
