已知设矩阵的特征方程有一个二重根 求a的值 并讨论A是否可相似对角化．设矩阵的特征方程有一个二重根
已知设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
设矩阵
的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
432***102
2024-11-15 05:55:04
正确答案：A的特征多项式为
若λ＝2是特征方程的二重根则有22－16＋18＋3a＝0解得a＝－2．当a＝－2时A的特征值为226矩阵2E—A＝
的秩为1故λ＝2对应的线性无关的特征向量有两个从而A可相似对角化． 若λ＝2不是特征方程的二重根则λ2－8λ＋18＋3a为完全平方从而18＋3a＝16解得
．当
时A的特征值为244矩阵4E—A＝
的秩为2故λ＝4对应的线性无关的特征向量只有一个从而A不可相似对角化．
[分析先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化．[评注n阶矩阵A可对角化的充要条件是：对于A的任意ki重特征根λi，恒有n－r(λiE—A)＝ki，而单根一定只有一个线性无关的特征向量．
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