设向量组α1 α2 … αm线性无关 且可由向量组β1 β2 … βm线性表示．证明：这两个向量组等

正确答案：由于α₁α₂…α_m可由β₁β₂…β_m线性表示故对任意β_i(K≤i≤m)向量组βα₁α₂…α_m仍可由β₁β₂…β_m线性表示．但由于m+1>m故m+1个向量 βα₁α₂…α_m必线性相关．又因为α₁α₂…α_m线性无关故β_i可由α₁α₂…α_m线性表示．从而向量组α₁α₂…α_m与β₁β₂…β_m等价．再由等价向量组有相同的秩而α₁α₂…α_m线性无关秩为m故β₁β₂…β_m秩为m从而也线性无关．
由于α1,α2,…,αm可由β1,β2,…,βm线性表示,故对任意βi(K≤i≤m),向量组β,α1,α2,…,αm仍可由β1,β2,…,βm线性表示．但由于m+1>m,故m+1个向量β,α1,α2,…,αm必线性相关．又因为α1,α2,…,αm线性无关,故βi可由α1,α2,…,αm线性表示．从而向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…βm等价．再由等价向量组有相同的秩,而α1,α2,…,αm线性无关,秩为m,故β1,β2,…,βm秩为m,从而也线性无关．