已知函数f(x)满足方程f'(x)＋f(x)－2f(x)＝0及f'(x)＋f(x)＝2ex． (1)

正确答案：(1)齐次线性微分方程f'(x)＋f'(x)－2f(x)＝0的特征方程为：r²＋r－2＝0特征根为：r₁＝1r₂＝－2因此齐次微分方程的通解为：f(x)＝C₁e^x＋C₂e^－2x．于是f'(x)＝C₁e^x－2C₂e^－2xf(x)＝C₁e^x＋4C₂e^－2x代入f'(x)＋f(x)＝2e^x得2C₁e^x＋2C₁e^－2x＝2e^x从而C₁＝1C₂＝0故f(x)＝e^x． (2)因曲线方程为y＝f(x²)∫₀^xf(－t²)dt＝e^x2∫₀^xe^－t2dt所以 y'＝2xe^x2∫₀^xe^－t2dt＋1 ． y'＝2e^x2∫₀^xedt＋4xee^x2∫₀^xe^－t2dt＋2x ＝2(1＋2x²)e^x2∫₀^xe^－t2dt＋2x．显然y'(0)＝0且当x＞0时y'＞0当x＜0时y'＜0．故所求拐点为(00)．
(1)齐次线性微分方程f'(x)＋f'(x)－2f(x)＝0的特征方程为：r2＋r－2＝0,特征根为：r1＝1,r2＝－2,因此齐次微分方程的通解为：f(x)＝C1ex＋C2e－2x．于是f'(x)＝C1ex－2C2e－2x,f(x)＝C1ex＋4C2e－2x,代入f'(x)＋f(x)＝2ex得2C1ex＋2C1e－2x＝2ex,从而C1＝1,C2＝0,故f(x)＝ex．(2)因曲线方程为y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt＝ex2∫0xe－t2dt,所以y'＝2xex2∫0xe－t2dt＋1,．y'＝2ex2∫0xedt＋4xeex2∫0xe－t2dt＋2x＝2(1＋2x2)ex2∫0xe－t2dt＋2x．显然,y'(0)＝0,且当x＞0时,y'＞0,当x＜0时,y'＜0．故所求拐点为(0,0)．