求下列微分方程的通解： (1)y〞＋2yˊ－3y＝e－3x； (2)y〞－5yˊ＋4y＝x2－2x＋

正确答案：(1)特征方程为r²＋2r－3＝0则特征根r₁＝1r₂＝－3故齐次方程通解为y＝C₁e^x＋C₂e^－3x．设原方程一个特解为y^*＝Axe^－3x则y^*ˊ＝(A－3Ax)e^－3xy^*〞＝(－6A＋9Ax)e^－3x代入原方程得 y〞^*＋2yˊ^*－3y^* ＝(－6A＋9Ax＋2A－6Ax－3Ax)e^－3x ＝－4Ae^－3x ＝e^－3x．故A＝－1／4y^*＝－x／4e^－3x．从而原方程的通解为y＝C₁e^x＋C₂e^－3x－x／4e^－3x．(2)特征方程为r²－5r＋4＝0特征根r₁＝4r₂＝1故齐次方程通解为y＝C₁e^x＋C₂e^4x．设原方程的一个特解y^*＝ax²＋bx＋c则y^*ˊ＝2ax＋by^*〞＝2a代入原方程得 2a－5(2ax＋b)＋4(ax²＋bx＋c)＝4ax²＋(4b－lOa)x＋4c＋2a－5b＝x²－2x＋1．
(1)特征方程为r2＋2r－3＝0,则特征根r1＝1,r2＝－3,故齐次方程通解为y＝C1ex＋C2e－3x．设原方程一个特解为y*＝Axe－3x,则y*ˊ＝(A－3Ax)e－3x,y*〞＝(－6A＋9Ax)e－3x,代入原方程得y〞*＋2yˊ*－3y*＝(－6A＋9Ax＋2A－6Ax－3Ax)e－3x＝－4Ae－3x＝e－3x．故A＝－1／4,y*＝－x／4e－3x．从而原方程的通解为y＝C1ex＋C2e－3x－x／4e－3x．(2)特征方程为r2－5r＋4＝0,特征根r1＝4,r2＝1,故齐次方程通解为y＝C1ex＋C2e4x．设原方程的一个特解y*＝ax2＋bx＋c,则y*ˊ＝2ax＋b,y*〞＝2a,代入原方程得2a－5(2ax＋b)＋4(ax2＋bx＋c)＝4ax2＋(4b－lOa)x＋4c＋2a－5b＝x2－2x＋1．