设线性方程组设A是对称正定矩阵 线性方程组Aχ＝b经过Gauss顺序消元法一步后 A约化为A(2)＝

正确答案：(1)因为矩阵A是对称正定的故对任意非零向量χ有χ^TAχ＞0。现令χ＝e_i＝则 0＜e_i^TAe_i＝a_ii (i＝12…n)又因为A划去任意k行k列所得子阵仍对称正定故C＝为对称正定矩阵由det(C)＞0得a_ij²＜a_iia_jj由此可知A的绝对值最大的元素必在主对角线上否则若有则必有与上述结论矛盾。 (2)由A的对称性及Gauss顺序消元法得 所以A₂是对称的。 假设A₂非正定则存在一个n－1维非零向量y使得y^TA₂y≤0设z＝(0y^T)^T则有z^TA_z≤0与已知条件相矛盾即A₂是对称正定的。 (3)因为a_ii⁽²⁾＝a_ii－a_1i²／a₁₁且a₁₁＞0所以a_ii⁽²⁾≤a_ii(i＝12…n)。 (4)由(1)(2)(3)知 即
(1)因为矩阵A是对称正定的,故对任意非零向量χ,有χTAχ＞0。现令χ＝ei＝,则0＜eiTAei＝aii(i＝1,2,…,n)又因为A划去任意k行,k列所得子阵仍对称正定,故C＝为对称正定矩阵,由det(C)＞0,得aij2＜aiiajj,由此可知,A的绝对值最大的元素必在主对角线上,否则若有,则必有,与上述结论矛盾。(2)由A的对称性及Gauss顺序消元法得所以A2是对称的。假设A2非正定,则存在一个n－1维非零向量y,使得yTA2y≤0,设z＝(0,yT)T,则有zTAz≤0,与已知条件相矛盾,即A2是对称正定的。(3)因为aii(2)＝aii－a1i2／a11,且a11＞0,所以aii(2)≤aii(i＝1,2,…,n)。(4)由(1),(2),(3)知即