设A是实数域上的n级可逆矩阵 证明：A可以分解成A=TB 其中丁是正交矩阵 B是上三角矩阵 并且B的

正确答案：设A=(α₁α₂……α_n)因为A是z级可逆实矩阵则其列向量α₁α₂……α_n线性无关对α₁α₂……α_n施密特正交化得β₁=α₁再单位化得：令β₁β₂……β_n为正交组η₁η₂……η_n为标准正交组且。(α₁α₂……α_n>=<β₁β₂……β_n>=<η₁η₂……η_n>由施密特正交化过程得(β₁β₂……β_n)=(α₁α₂……α_n)P其中P为对角元为1的上三角阵(η₁η₂……η_n)=(β₁β₂……β_n)B₁所以(η₁η₂……η_n)=(β₁β₂……β_n)B₁=(α₁α₂……α_n)PB₁=(α₁α₂……α_n)B₂其中B₂=PB₁是主对角元为正的上三角阵．令T=(η₁η₂……η_n)则有T=AB₂故A=TB₂^-1=TB其中T为正交矩阵B=B₂^-1仍是主对角元为正的上三角阵．再证此分解唯一．设满秩阵A有两种正交分解A=T₁B₁=T₂B₂其中T₁T₂为正交矩阵B₁B₂为主对角元为正的上三角矩阵则有T₁T₂^-1=B₂B₁^-1．因上式左边为正交矩阵(因正交阵的逆仍为正交阵正交阵的乘积仍为正交阵)右边为对角元为正的上三角阵(因上三角阵的逆仍为上三角阵上三角阵的乘积仍为上三角阵．)故由第5题知T₁T₂^-1=B₂B₁^-1为对角阵．又因T₁T₂^-1=B₂B₁^-1主对角元为正．故T₁T₂^-1=B₂B₁^-1=I即T₁=T₂B₁=B₂所以此分解唯一．
设A=(α1,α2……αn),因为A是,z级可逆实矩阵,则其列向量α1,α2……αn线性无关,对α1,α2……αn施密特正交化,得β1=α1再单位化得：令β1β2……βn为正交组,η1,η2,……ηn为标准正交组,且。(α1,α2……αn>=<β1β2……βn>=<η1,η2,……ηn>由施密特正交化过程得(β1β2……βn)=(α1,α2……αn)P其中P为对角元为1的上三角阵,(η1,η2,……ηn)=(β1β2……βn)B1所以(η1,η2,……ηn)=(β1β2……βn)B1=(α1,α2……αn)PB1=(α1,α2……αn)B2其中B2=PB1,是主对角元为正的上三角阵．令T=(η1,η2,……ηn),则有T=AB2故A=TB2-1=TB其中T为正交矩阵,B=B2-1仍是主对角元为正的上三角阵．再证此分解唯一．设满秩阵A有两种正交分解A=T1B1=T2B2其中T1,T2为正交矩阵,B1,B2为主对角元为正的上三角矩阵,则有T1T2-1=B2B1-1．因上式左边为正交矩阵(因正交阵的逆仍为正交阵,正交阵的乘积仍为正交阵),右边为对角元为正的上三角阵(因上三角阵的逆仍为上三角阵,上三角阵的乘积仍为上三角阵．)故由第5题知T1T2-1=B2B1-1为对角阵．又因T1T2-1=B2B1-1主对角元为正．故T1T2-1=B2B1-1=I即T1=T2,B1=B2,所以此分解唯一．