试证下面的定理： 设f(z)=u(r θ)+iv(r θ) z=reiθ 若u(r θ) v(r

正确答案：由题设条件可知：(1)二元函数u(xy)v(xy)在点(xy)可微；(2)u(xy)v(xy)在点(xy)满足C．一R方程：u_x=v_yu_y=v_x故由数学分析中的反函数存在定理知在相应点(xy)附近函数组①存在唯一具有一阶连续偏导的反函数组所以r(xy)θ(xy)在点(xy)可微．又因u(rθ)v(rθ)在点(rθ)可微故复合函数u(xy)v(xy)在点(xy)可微．由复合函数反函数求偏导法则及极坐标的C—R方程知即满足定理2．2的两个条件所以f(z)在点z=z+iy可微．运用复合函数反函数求偏导法则及极坐标C．一R方程得
由题设条件可知：(1)二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微；(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足C．一R方程：ux=vy,uy=vx故由数学分析中的反函数存在定理知,在相应点(x,y)附近,函数组①存在唯一具有一阶连续偏导的反函数组所以,r(x,y),θ(x,y)在点(x,y)可微．又因u(r,θ),v(r,θ)在点(r,θ)可微,故复合函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微．由复合函数,反函数求偏导法则及极坐标的C—R方程知即满足定理2．2的两个条件,所以f(z)在点z=z+iy可微．运用复合函数反函数求偏导法则及极坐标C．一R方程,得