设函数f(x)连续 g(x)满足局部Lipschitz条件 证明方程组 满足初值条件x(t0)=x

正确答案：由Pean0存在性定理所给初值问题有解．由于函数g(x)满足局部Lips-chitz条件由Picard存在唯一性定理初值问题存在唯一的解x^*(t)设x^*(t)在区间[t₀一ht₀+h上有定义．考虑初值问题其中t∈[t₀-ht₀+h．由f(x)和x^*(t)的连续性知函数f(x^*(t))在区间[t₀一ht₀+h上连续因为初值问题(5．2 4)中的方程为线性方程故其解在区间[t₀一ht₀+h上存在唯一的解y^*(t)．从而所给初值问题的解有且只有一个即(x^*(t)y^*(t))．
由Pean0存在性定理,所给初值问题有解．由于函数g(x)满足局部Lips-chitz条件,由Picard存在唯一性定理,初值问题存在唯一的解x*(t),设x*(t)在区间[t0一h,t0+h上有定义．考虑初值问题其中t∈[t0-h,t0+h．由f(x)和x*(t)的连续性知函数f(x*(t))在区间[t0一h,t0+h上连续,因为初值问题(5．24)中的方程为线性方程,故其解在区间[t0一h,t0+h上存在唯一的解y*(t)．从而所给初值问题的解有且只有一个,即(x*(t),y*(t))．