已知设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1 λ2＝2 λ3＝－2 α1＝(1 －1 1)T是A的属于λ1
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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量． (2)求矩阵B．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
413***102
2024-11-15 05:05:04
正确答案：(1)由Aα1＝α1得 A2α1＝Aα1＝α1 进一步 A3α1＝α1A5α1＝α1 故 Bα1＝(A5－4A3＋E)α1 ＝A5α1－4A3α1＋α1 ＝α1—4α1＋α1＝－2α1从而α1是矩阵B的属于特征值－2的特征向量． 由B＝A－4A＋E及A的3个特征值λ1＝1λ2＝2λ3＝－2得B的3个特征值为μ1＝－2μ2—1μ3＝1． 设α2α3为B的属于μ2＝μ3＝1的两个线性无关的特征向量又因为A是对称矩阵得B也是对称矩阵因此α1与α2α3正交即 α1Tα2＝0 α1Tα3＝0 所以α2α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
其基础解系为
故可取
。故B的全部特征值的特征向量为：
其中k1是不为零的任意常数k2k3是不同时为零的任意常数．(2)方法一 令P＝(α1α2α3)＝
得
方法二 将α2α3正交化得β2＝α2＝
将α1β2β3单位化得
令
则 P－1BP＝PTBP＝
故
[分析根据特征值的性质可立即得B的特征值，然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量．
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