已知向量组α1 α2 α3线性无关 讨论向量组β1=α1+α2+α3 β2=α1+2α2-α3 β3

正确答案：解法1设有x₁x₂x₃使得x₁(α₁+α₂+α₃)+x₂(α₁+α₂-α₃)+x₃(α₁-α₂+2α₃)=0成立即(x₁+x₂+x₃)α₁+(x₁+2x₂-x₃)α₂+(x₁-x₂+2x₃)α₁=0由于α₁ α₂α₃线性无关则有而该齐次线性方程组的系数行列式所以齐次线性方程组有唯一零解故向量组β₁β₂β₃线性无关解法2由已知可知β₁β₂β₃可由α₁ α₂α₃线性表示又(β₁β₂β₃)=(α₁+α₂+α₃α₁+2α₂-α₃α₁-α₂+2α₃)=(α₁ α₂α₃)则A可逆则有α₁ α₂α₃可由β₁β₂β₃线性表示因而向量组α₁ α₂α₃与向量组β₁β₂β₃等价又向量组α₁ α₂α₃线性无关所以R(α₁ α₂α₃)=3从而R(β₁β₂β₃)=3故向量组β₁β₂β₃线性无关。
解法1设有x1,x2,x3,使得x1(α1+α2+α3)+x2(α1+α2-α3)+x3(α1-α2+2α3)=0成立,即(x1+x2+x3)α1+(x1+2x2-x3)α2+(x1-x2+2x3)α1=0,由于α1,α2,α3线性无关,则有而该齐次线性方程组的系数行列式所以齐次线性方程组有唯一零解,故向量组β1,β2,β3线性无关解法2由已知可知,β1,β2,β3可由α1,α2,α3线性表示,又(β1,β2,β3)=(α1+α2+α3,α1+2α2-α3,α1-α2+2α3)=(α1,α2,α3)则A可逆,则有α1,α2,α3可由β1,β2,β3线性表示,因而向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3等价,又向量组α1,α2,α3线性无关,所以R(α1,α2,α3)=3,从而R(β1,β2,β3)=3,故向量组β1,β2,β3线性无关。