设A为严格对角占优矩阵 经过Gauss顺序消元法一步后 A约化为设P是正交矩阵 证明：‖PA‖F＝‖
设A为严格对角占优矩阵，经过Gauss顺序消元法一步后，A约化为设P是正交矩阵，证明：‖PA‖F＝‖AP‖F＝‖A‖F
设P是正交矩阵，证明：‖PA‖F＝‖AP‖F＝‖A‖F。
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参考解答
406***102
2024-11-17 09:45:45
正确答案：设A＝(α1α2…αn)即α是A的第j列向量则 ‖A‖F2＝‖α1‖22＋‖α2‖22＋…＋‖αn‖22 而‖PA‖F2＝‖Pα1‖22＋‖Pα2‖22＋…＋‖Pαn‖22 因为
所以 ‖PA‖F2＝‖α1‖22＋‖α2‖22＋…＋‖αn‖22＝‖A‖F2 记B＝pTAP注意到PT＝P-1 BTB＝PTATPPTAP＝PTATAP 所以tr(BTB)=tr(ATA)于是 ‖AP‖F2＝‖B‖F2＝tr(BTB)＝tr(ATA)＝‖A‖F2 因此‖PA‖F＝‖AP‖F＝‖A‖F成立。
设A＝(α1,α2,…,αn),即α是A的第j列向量,则‖A‖F2＝‖α1‖22＋‖α2‖22＋…＋‖αn‖22而‖PA‖F2＝‖Pα1‖22＋‖Pα2‖22＋…＋‖Pαn‖22因为所以‖PA‖F2＝‖α1‖22＋‖α2‖22＋…＋‖αn‖22＝‖A‖F2记B＝pTAP,注意到PT＝P-1BTB＝PTATPPTAP＝PTATAP所以tr(BTB)=tr(ATA),于是‖AP‖F2＝‖B‖F2＝tr(BTB)＝tr(ATA)＝‖A‖F2因此‖PA‖F＝‖AP‖F＝‖A‖F成立。
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