设χj＝χ0＋jh(j＝0 1 2 … n) ωn(χ)＝(χ－χj) 证明： (1)对 n＝1 2

正确答案：(1)由极值定理知当χ＝时ω₁(χ)＝(χ－χ₀)(χ－χ₁)取得最大值所以 令t＝χ－χ₁则 ω₂(χ)＝g₃(t)＝t³－h²tt∈[－hh 由g′₃(t)＝0解得t＝即t＝时取得极大值所以 由g′₄(t)＝0解得t₁＝ht₂＝0t₃＝h故在t＝0时g₄(t)取得极大而在t＝±h时g₄(t)取得极小。 又因为当χ₀≤χ≤χ₃时且g₄(0)＝＝－h⁴ 所以 当χ₁≤χ≤χ₂时在区间上g(t)有唯一极值所以 (2)令t＝χ－χ₀则 ω_n(χ)＝g_n+1(t)≤hⁿ⁺¹t(t－1)…(t－n) 现用数学归纳法证明当n＝1时显然 即结论成立。 假定n＝k时结论成立即于是当h＝k＋1时由归纳假设 由k的任意性所以｜ω_n(χ)｜≤hⁿ⁺¹成立。
(1)由极值定理知,当χ＝时,ω1(χ)＝(χ－χ0)(χ－χ1)取得最大值,所以令t＝χ－χ1,则ω2(χ)＝g3(t)＝t3－h2t,t∈[－h,h由g′3(t)＝0,解得t＝,即t＝时,取得极大值,所以由g′4(t)＝0解得t1＝h,t2＝0,t3＝h,故在t＝0时,g4(t)取得极大,而在t＝±h时,g4(t)取得极小。又因为当χ0≤χ≤χ3时,,且g4(0)＝＝－h4所以当χ1≤χ≤χ2时,,在区间上g(t)有唯一极值,所以(2)令t＝χ－χ0则ωn(χ)＝gn+1(t)≤hn+1t(t－1)…(t－n)现用数学归纳法证明,当n＝1时,显然即结论成立。假定n＝k时结论成立,即,于是,当h＝k＋1时,由归纳假设由k的任意性,所以｜ωn(χ)｜≤hn+1成立。