验证下列函数都是所给微分方程的解 其中哪些是通解? (1)x2y〞－2xyˊ＋2y＝0 y＝x(C1

正确答案：(1)y＝C₁x＋C₂x²2y＝2C₁x＋2C₂x²yˊ＝C₁＋2C₂x－2xyˊ＝－2C₁x－4C₂x²y〞＝2C₂x²y〞＝2C₂x²故x²y〞－2xyˊ＋2y＝0即y＝x(C₁＋C₂x)是原方程的解又因为C₁与C₂相互独立故又是通解． (2)y＝e^x(C₁cosx＋C₂sinx＋1) 2y＝2e^x(C₁cosx＋C₂sinx＋1) yˊ＝e^x[(C₁＋C₂)cosx＋(C₂－C₁)sinx＋1 2yˊ＝2e^x[(C₁＋C₂)cosx＋(C₂－C₁)sinx＋1y〞＝e^x(2C₂cosx－2C₁sinx＋1) ＝2e^x(C₂cosx－2C₁sinx＋1)故 y〞－2yˊ＋2y＝e^x． 又C₁与C₂相互独立从而y＝e^x(C₂cosx＋C₂sinx＋1)又是原方程的通解． (3)y＝C₁sin2x＋C₂sinxcosx(C₁＋C₂／2)sin2x＝ksin2x其中 k＝C₂／2＋C₁即C₁与C₂不相互独立． 又yˊ＝2kcos2xy〞＝－4ksin2x故y〞＋4y＝0．故y＝C₁sin2x＋C₂sinxcosx是原方程的解但不是通解． (4)y＝C₁lnx^C₂＝C₁C₂ln｜x｜＝kln｜x｜其中k＝C₁C₂即C₁与C₂不相互独立． 又yˊ＝k／xy〞＝－k／x²故y〞＋ky＝0从而y＝C₁lnx^C₂是原方程的解但不是通解． (5)y＝(C₁＋C₂x)e^x2 (4x²－2)y＝(4x²－2)(C₁＋C₂x)e^x2 ＝2(2C₂x⁵＋2C₁x²一C₂x－C₁)e^x2 yˊ＝(2C₂x²＋2C₁x＋C₂)e^x2 4xyˊ＝4(2C₂x³＋2C₁x²＋C₂x)e^x2 y〞＝2(2C₂x³＋2C₁x²＋3C₂x＋C₁)e^x2．故y〞＝4xyˊ＋4(x²－2)y＝0又C₁与C₂相互独立从而y＝(C₁＋C₂x)e^x2又是原方程的通解． (6)y＝C₁e^－3x＋C₂e^2－3x－1＝(C₁＋C₂e²)e^－3x＋1＝ke^－3x－1即C₁与C₂不是相互独立的． yˊ＝－3ke^－3xy〞＝9ke^－3x故y〞－9y＝9又C₁与C₂不是相互独立的从而y＝C₁e^－3x＋C₁e^2－3x＝1是解但不是通解．
(1)y＝C1x＋C2x2,2y＝2C1x＋2C2x2,yˊ＝C1＋2C2x,－2xyˊ＝－2C1x－4C2x2,y〞＝2C2,x2y〞＝2C2x2,故x2y〞－2xyˊ＋2y＝0,即y＝x(C1＋C2x)是原方程的解,又因为C1与C2相互独立,故又是通解．(2)y＝ex(C1cosx＋C2sinx＋1),2y＝2ex(C1cosx＋C2sinx＋1),yˊ＝ex[(C1＋C2)cosx＋(C2－C1)sinx＋1,2yˊ＝2ex[(C1＋C2)cosx＋(C2－C1)sinx＋1,y〞＝ex(2C2cosx－2C1sinx＋1)＝2ex(C2cosx－2C1sinx＋1),故y〞－2yˊ＋2y＝ex．又C1与C2相互独立,从而y＝ex(C2cosx＋C2sinx＋1)又是原方程的通解．(3)y＝C1sin2x＋C2sinxcosx(C1＋C2／2)sin2x＝ksin2x,其中k＝C2／2＋C1,即C1与C2不相互独立．又yˊ＝2kcos2x,y〞＝－4ksin2x,故y〞＋4y＝0．故y＝C1sin2x＋C2sinxcosx是原方程的解,但不是通解．(4)y＝C1lnxC2＝C1C2ln｜x｜＝kln｜x｜,其中k＝C1C2,即C1与C2不相互独立．又yˊ＝k／x,y〞＝－k／x2,故y〞＋ky＝0,从而y＝C1lnxC2是原方程的解,但不是通解．(5)y＝(C1＋C2x)ex2,(4x2－2)y＝(4x2－2)(C1＋C2x)ex2＝2(2C2x5＋2C1x2一C2x－C1)ex2,yˊ＝(2C2x2＋2C1x＋C2)ex2,4xyˊ＝4(2C2x3＋2C1x2＋C2x)ex2,y〞＝2(2C2x3＋2C1x2＋3C2x＋C1)ex2．故y〞＝4xyˊ＋4(x2－2)y＝0,又C1与C2相互独立,从而y＝(C1＋C2x)ex2又是原方程的通解．(6)y＝C1e－3x＋C2e2－3x－1＝(C1＋C2e2)e－3x＋1＝ke－3x－1,即C1与C2不是相互独立的．yˊ＝－3ke－3x,y〞＝9ke－3x,故y〞－9y＝9,又C1与C2不是相互独立的,从而y＝C1e－3x＋C1e2－3x＝1是解,但不是通解．