如果设z0是函数f(z)的m阶零点 又是g(z)的n阶零点 试问下列函数在z0处具有何种性质? (1

正确答案：(1)因为z₀为f(z)的m阶零点 f(z)=a_m(z一z₀)^m+a_m+1(z—z₀)^m+1+… 其中a_m≠0． 又z₀为g(z)的n阶零点 g(z)=b_n(z—z₀)”+b_n+1(z—z₀)ⁿ⁺¹+… 其中b_n≠0． 如果m＞n则 f(z)+g(z)=(z—z₀)ⁿ[b_n+b_n+1(z一z₀)+…+(b_m+a_m)(z一z₀)^m-n+… z₀为f(z)+g(z)的n阶零点． 如果n＞m同理可得z₀为f(z)+g(z)的m阶零点． 如果m=n当a_m+b_m≠0时z₀为f(z)+g(z)的m阶零点；当a_m+b_m=0时零点z₀的阶数大于n． (2)f(z)．g(z)=a_mb_m(z—₀)^m+n+(a_m+1b_n+a_mb_n+1)(z一z₀)^m+n+1+… 故z₀为f(z)．g(z)的m+n阶零点 (3) 由此可见 如果m＜n则z₀为g(z)／f(z)的n一m阶零点； 如果m＞n则z₀为g(z)／f(z)的m一n阶零点； 如果m=n则220为g(z)／f(z)的可去奇点．
(1)因为z0为f(z)的m阶零点f(z)=am(z一z0)m+am+1(z—z0)m+1+…,其中am≠0．又z0为g(z)的n阶零点,g(z)=bn(z—z0)”+bn+1(z—z0)n+1+…,其中bn≠0．如果m＞n,则f(z)+g(z)=(z—z0)n[bn+bn+1(z一z0)+…+(bm+am)(z一z0)m-n+…z0为f(z)+g(z)的n阶零点．如果n＞m,同理可得z0为f(z)+g(z)的m阶零点．如果m=n,当am+bm≠0时,z0为f(z)+g(z)的m阶零点；当am+bm=0时,零点z0的阶数大于n．(2)f(z)．g(z)=ambm(z—0)m+n+(am+1bn+ambn+1)(z一z0)m+n+1+…故z0为f(z)．g(z)的m+n阶零点(3)由此可见,如果m＜n,则z0为g(z)／f(z)的n一m阶零点；如果m＞n,则z0为g(z)／f(z)的m一n阶零点；如果m=n,则220为g(z)／f(z)的可去奇点．