试判断下列函数的可微性和解析性： (1)f(z)=xy2+ix2y； (2)f(z)=x2+iy2；

正确答案：(1)u(xy)=xy²v(xy)=x²y 此时仅当x=y=0时有 u_x=y²=v_y=x²u_y=2xy=一v_x=一2xy 且这四个偏导数在原点连续故f(z)只在原点可微． 并且f'(0)=(u_x+iv_x)｜₍₀₀₎=(x²+i2xy)｜₍₀₀₎=0． (2)u(xy)=x²v(xy)=y²此时仅在直线y=x上有 u_x=2x=u_y=2yu_y=0=一v_x=0 且这四个偏导数在直线y=x上连续故f(z)在直线y=x上可微但不解析． (3)u(xy)=2x³v(xy)=3y³ u_x=6x²=u_y=9yu_y=0=一v_x=0 故只在曲线=0上可微但不解析． (4)u(xy)=x³一3xy²v(xy)=3x²y—y³在全平面上有 u_x=3x²一3y²=v_y=3x²一3y² u_y=一6xy=一v_x=一6xy． 且在全平面上这四个偏导数连续故可微且解析．
(1)u(x,y)=xy2,v(x,y)=x2y,此时仅当x=y=0时,有ux=y2=vy=x2,uy=2xy=一vx=一2xy,且这四个偏导数在原点连续,故f(z)只在原点可微．并且f'(0)=(ux+ivx)｜(0,0)=(x2+i2xy)｜(0,0)=0．(2)u(x,y)=x2,v(x,y)=y2,此时仅在直线y=x上有ux=2x=uy=2y,uy=0=一vx=0,且这四个偏导数在直线y=x上连续,故f(z)在直线y=x上可微,但不解析．(3)u(x,y)=2x3,v(x,y)=3y3,ux=6x2=uy=9y,uy=0=一vx=0,故只在曲线=0上可微,但不解析．(4)u(x,y)=x3一3xy2,v(x,y)=3x2y—y3,在全平面上有ux=3x2一3y2=vy=3x2一3y2,uy=一6xy=一vx=一6xy．且在全平面上这四个偏导数连续,故可微且解析．