将下列函数在指定环域内展为洛朗级数． 求出下列函数的奇点 并确定它们的类别(对于极点 要指出它求出下

正确答案：(1)因为是有理函数且分子分母无公共零点因此分母的零点就是函数的极点令分母z(z²+4)²=0得z=0以及±2i分别是分母的一级和二级零点从而分别是函数的一级和二级极点又因→0z→∞所以z=∞为可去奇点． (2)由定理5．4(3)知sin z+cos z的m级零点就是级极点 且分母零点的极限点必为函数的极限点因为 (3)因z=(2k+1)πi时分母1+e^z=0且 (1+e^z)'｜_z=(2k+1)πi=一1≠0所以z=(2k+1)πi是分母的一级零点而此时分子 (1-e^z)｜_z=(2k+1)πi=≠0故z=(2k+1)rti(k=0±1…)各为函数的一级极点因分子分母在z平面解析所以除此之外在z平面上无其他奇点．又因z=(2k+1)πi→∞k→∞即z=∞为函数的非孤立奇点．(5)因为tan² z=分子分母均在z平面解析且无公共零点所以分母的零点即为tan²z的极点令cos²z=0解得故z=0为其可去奇点．又因为在∞的去心邻域即0＜｜z｜＜+∞内有洛朗展式．其中含无穷多个正幂项所以z=∞为本性奇点．(8)因为当且仅当z=2kπi时(k=0±1±2…)分母e^z一1=0且(e^z一1)'｜_z=2kπi≠0所以z=2kπi为分母的一级零点而分子是常数1．因此z=2kπi为其一级极点．
(1)因为是有理函数,且分子,分母无公共零点,因此分母的零点就是函数的极点,令分母z(z2+4)2=0,得z=0,以及±2i,分别是分母的一级和二级零点,从而分别是函数的一级和二级极点,又因→0,z→∞所以z=∞为可去奇点．(2)由定理5．4(3)知sinz+cosz的m级零点,就是级极点,且分母零点的极限点必为函数的极限点,因为(3)因z=(2k+1)πi时,分母1+ez=0,且(1+ez)'｜z=(2k+1)πi=一1≠0,所以,z=(2k+1)πi是分母的一级零点,而此时分子(1-ez)｜z=(2k+1)πi=≠0,故z=(2k+1)rti(k=0,±1,…)各为函数的一级极点,因分子,分母在z平面解析,所以除此之外在z平面上无其他奇点．又因z=(2k+1)πi→∞,k→∞即z=∞为函数的非孤立奇点．(5)因为tan2z=,分子分母均在z平面解析且无公共零点,所以分母的零点即为tan2z的极点,令cos2z=0,解得故z=0为其可去奇点．又因为在∞的去心邻域,即0＜｜z｜＜+∞内有洛朗展式．其中含无穷多个正幂项,所以z=∞为本性奇点．(8)因为当且仅当z=2kπi时(k=0,±1,±2,…),分母ez一1=0且(ez一1)'｜z=2kπi≠0,所以z=2kπi为分母的一级零点,而分子是常数1．因此,z=2kπi为其一级极点．