设向量组 问a b取何值时 有 (1)β能由α1 α2 α3 α4线性表示 且表示法唯一； (2)

正确答案：设有x₁x₂x₃x₄使β=x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄成立则(1)当a≠-1时R(α₁ α₂α₃α₄)=R(α₁ α₂α₃α₄β)=4。故方程组有唯一解即β能由α₁ α₂α₃α₄线性表示且表示法唯一。(2)当a=-1b≠0时R(α₁ α₂α₃α₄)=2而R(α₁ α₂α₃α₄β)=3二者不等故方程组无解即β不能由α₁ α₂α₃α₄线性表示。(3)当α=-1b=0时R(α₁ α₂α₃α₄)=R(α₁ α₂α₃α₄β)=2＜4方程组有无穷多解即β能由α₁ α₂α₃α₄线性表示且表示法不唯一此时故方程组的一般解为x₃x₄为自由未知量。令x₃=k₁x₄=k₂则x₁=2k₁+k₂x₂=k₁-2k₂+1k₁k₂∈R故β可表示为β=(-2k₁+k₂)α₁+(k₁-2k₂+1)α₂+k₁α₃+k₂α₄(k₁k₂∈R)。
设有x1,x2,x3,x4,使β=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4成立,则(1)当a≠-1时,R(α1,α2,α3,α4)=R(α1,α2,α3,α4,β)=4。故方程组有唯一解,即β能由α1,α2,α3,α4线性表示,且表示法唯一。(2)当a=-1,b≠0时,R(α1,α2,α3,α4)=2,而R(α1,α2,α3,α4,β)=3,二者不等,故方程组无解,即β不能由α1,α2,α3,α4线性表示。(3)当α=-1,b=0时,R(α1,α2,α3,α4)=R(α1,α2,α3,α4,β)=2＜4,方程组有无穷多解,即β能由α1,α2,α3,α4线性表示,且表示法不唯一,此时,故方程组的一般解为x3,x4为自由未知量。令x3=k1,x4=k2,则x1=2k1+k2,x2=k1-2k2+1,k1,k2∈R,故β可表示为β=(-2k1+k2)α1+(k1-2k2+1)α2+k1α3+k2α4(k1k2∈R)。