证明：设f(x)为n阶可导函数 若方程f(x)=0有n+1个相异的实根 则方程fn(x)=0至少有一

正确答案：设方程f(x)=0的n+1个相异实根为 x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n+1 对f(x)在每个区间[x_kx_k+1(k=12…n)上应用罗尔中值定理知存在ξ_1k∈(x_kx_k+1) 使f'(ξ_1k)=0(k=12…n)．即f'(x)=0至少有n个相异实根。 再对f'(x)在n-1个区间[ξ_1kξ_1k+1上应用罗尔中值定理存在ξ_2k∈(ξ_1kξ_1k+1)使 f'(ξ_2k)=0(k=12…n-1)。即f'(x)=0至少有n-1个相异实根。 重复以上做法知f'''(x)=0至少有n-2个相异实根…fⁿ(x)=0至少有一个实根。
设方程f(x)=0的n+1个相异实根为x1＜x2＜x3＜…＜xn+1对f(x)在每个区间[xk,xk+1(k=1,2,…,n)上应用罗尔中值定理知,存在ξ1k∈(xk,xk+1),使f'(ξ1k)=0(k=1,2,…,n)．即f'(x)=0至少有n个相异实根。再对f'(x)在n-1个区间[ξ1,k,ξ1,k+1上应用罗尔中值定理,存在ξ2k∈(ξ1,k,ξ1,k+1),使f'(ξ2k)=0,(k=1,2,…,n-1)。即f'(x)=0至少有n-1个相异实根。重复以上做法知,f'''(x)=0至少有n-2个相异实根,…,fn(x)=0至少有一个实根。