设f(x)满足f'(x)+f(x)g(x)-f(x)=0 其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)

正确答案：一定存在ξ∈(x₀x₁)使f'(ξ)=0则f(ξ)=f'(ξ)；若f(ξ)＞0则f'(ξ)＞0ξ应为f(x)的极小值点但f(ξ)＞0=f(x₀)=f(x₁)矛盾；若f(ξ)＜0则f'(ξ)＜0ξ应为f(x)的极大值点但f(ξ)＜0=f(x₀)=f(x₁)矛盾。故只能f(ξ)=0即f'(ξ)=0再对[x₀ξ及[ξx₁应用以上结论反复使用知f(x)在[x₀x₁上恒等于0。
一定存在ξ∈(x0,x1),使f'(ξ)=0,则f(ξ)=f'(ξ)；若f(ξ)＞0,则f'(ξ)＞0,ξ应为f(x)的极小值点,但f(ξ)＞0=f(x0)=f(x1),矛盾；若f(ξ)＜0,则f'(ξ)＜0,ξ应为f(x)的极大值点,但f(ξ)＜0=f(x0)=f(x1),矛盾。故只能f(ξ)=0,即f'(ξ)=0,再对[x0,ξ及[ξ,x1应用以上结论,反复使用,知f(x)在[x0,x1上恒等于0。