证明：设A B分别是s×n n×m矩阵．如果AB=0 则rank(A)+rank(B)≤n．请帮忙给
证明：设A，B分别是s×n，n×m矩阵．如果AB=0，则rank(A)+rank(B)≤n．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
481***101
2024-11-13 17:27:46
正确答案：若A=0则结论显然成立设A≠0设rank(A)=r因为AB=0因此B的列向量β1β2……βm中每个向量都是n元齐次线性方程组AX=0的解． 所以β1β2……βm可以由AX一0的一个基础解系η1η2……ηn-r线性表出故向量组β1β2……βm的秩≤n—r即rank(B)≤n一r所以rank(A)+rank(B)≤n
若A=0,则结论显然成立设A≠0,设rank(A)=r,因为AB=0,因此B的列向量β1β2……βm中每个向量都是n元齐次线性方程组AX=0的解．所以β1β2……βm可以由AX一0的一个基础解系η1,η2,……ηn-r,线性表出故向量组β1β2……βm的秩≤n—r,即rank(B)≤n一r所以rank(A)+rank(B)≤n
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