设向量组α1 α2 … αm线性无关 而向量组β≠0 且β α1 α2 … αm线性相关．证明：向量

正确答案：存在性：因为βα₁α₂…α_m线性相关故存在不全为零的数k₁k₂…k_m使kβ+k₁α₁+…+k_mα_m=0 (1) 其中k₁k_m不能全为零：否则只能k≠0且由(1)知kβ=0从而β=0与假设β≠0矛盾．现假设k₁k₂…k_m中自右向左第一个不为零的数是k_j即k_j≠0而k_j-1=…一k_m=0．于是由(1)可知α_j可由βα₁…α_i-1线性表示．唯一性：设若另有α_i(i1…α_i-1线性表示并设α_i=lβ+l₁α₁+…+l_i-1α_i-1 (2)则由于α₁α₂…α_m线性无关(从而α₁…α_i-1α_i也线性无关)故必l≠0．因此由(2)知β可由α₁…α_i-1α_i线性表示．但由于i1…α_i-1线性表示．但由存在性知α_i可由βα₁…α_i-1线性表示从而α_i可由α₁α_i-1线性表示．这与α₁α₂…α_m线性无关矛盾．
存在性：因为β,α1,α2,…,αm线性相关,故存在不全为零的数k1,k2,…,km使kβ+k1α1+…+kmαm=0(1)其中k1,km不能全为零：否则只能k≠0且由(1)知kβ=0,从而β=0,与假设β≠0矛盾．现假设k1,k2,…,km中自右向左第一个不为零的数是kj,即kj≠0而kj-1=…一km=0．于是由(1)可知,αj可由β,α1,…,αi-1线性表示．唯一性：设若另有αi(i1,…,αi-1线性表示,并设αi=lβ+l1α1+…+li-1αi-1,(2)则由于α1,α2,…,αm,线性无关(从而α1,…αi-1,αi也线性无关),故必l≠0．因此由(2)知,β可由α1,…,αi-1,αi线性表示．但由于i1,…,αi-1线性表示．但由存在性知,αi可由β,α1,…,αi-1线性表示,从而αi可由α1,αi-1线性表示．这与α1,α2,…,αm线性无关矛盾．