设A是n级实方阵 n≥3 证明：(1)如果A的每一个元素等于它自己的代数余子式 并且A至少有一个元素

正确答案：(1)设A的第i行第j列的元素不为0因为A的每一个元素等于它自己的代数余子式故｜A｜=a_i1A_i1+a_i22A_i2+…+a_inA_in=a_i1²+a_i2²+…+a_in²≥a_ij²>0所以A^'=A^*AA’=AA^'=｜A｜I左右取行列式｜A²｜=｜Aⁿ｜.1从而｜A｜^n-2=1｜A｜=1AA^'=I．所以A为正交矩阵．(2)类似(1)中的证明可知｜A｜<0而A中每一个元素等于它自己的代数余子式乘以一1所以A’=一A^*AA^'=一AA^*=一｜A｜I从而｜A｜^n-2=(一1)ⁿ｜A｜=一1AA^'=I．所以A为正交矩阵．
(1)设A的第i行第j列的元素不为0,因为A的每一个元素等于它自己的代数余子式,故｜A｜=ai1Ai1+ai22Ai2+…+ainAin=ai12+ai22+…+ain2≥aij2>0所以A'=A*,AA’=AA'=｜A｜I,左右取行列式｜A2｜=｜An｜.1从而｜A｜n-2=1,｜A｜=1,AA'=I．所以A为正交矩阵．(2)类似(1)中的证明,可知｜A｜<0,而A中每一个元素等于它自己的代数余子式乘以一1所以A’=一A*,AA'=一AA*=一｜A｜I从而｜A｜n-2=(一1)n,｜A｜=一1,AA'=I．所以A为正交矩阵．