设连续函数列{fn(x))在[α b]上一致收敛于f(x) 而g(x)在(-∞ +∞)上连续。证明：

正确答案：因为连续函数列{f_n(x))在[αb上一致收敛于f(x)。 则任给一个ε₁＞0当n＞N(ε₁)时有 ｜f_n(x)-f(x)｜＜ε₁ 又因为g(x)在[αb上连续则对任给ε＞0存在ε₁>0当f_n(x)-f(x)｜＜ε₁时 ｜g(f_n(x))-g(f(x))｜＜ε 则任给一个ε＞0当n＞M时有 ｜g(f_n(x))-g(f(x))｜<εx∈[αb那么(g(f_n(x))在[αb上一致收敛于g(f(x))。
因为连续函数列{fn(x))在[α,b上一致收敛于f(x)。则任给一个ε1＞0,当n＞N(ε1)时,有｜fn(x)-f(x)｜＜ε1又因为g(x)在[α,b上连续,则对任给ε＞0,存在ε1>0,当fn(x)-f(x)｜＜ε1时,｜g(fn(x))-g(f(x))｜＜ε则任给一个ε＞0,当n＞M时,有｜g(fn(x))-g(f(x))｜<ε,x∈[α,b那么(g(fn(x))在[α,b上一致收敛于g(f(x))。