设p(x)为多项式 a为P(x)=0的r重实根。证明：α必定是P(x)的r-1重实根。请帮忙给出正确
设p(x)为多项式，a为P(x)=0的r重实根。证明：α必定是P(x)的r-1重实根。
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
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2024-11-17 19:15:13
正确答案：α为p(x)=0的r重实根故p(x)=(x-α)rq0(x)其中q0(x)≠0。 故P'(x)=r(x-α)r-1q0(x)+(x-α)rq'0(x) =(x-α)r-1[rq0(x)+(x-α)q'0(x) 而rq0(α)+(α-α)q'0(α)≠0否则q0(α)=0与假设矛盾。这就证明了α是P'(x)的r-1重实根。
α为p(x)=0的r重实根,故p(x)=(x-α)rq0(x),其中q0(x)≠0。故P'(x)=r(x-α)r-1q0(x)+(x-α)rq'0(x)=(x-α)r-1[rq0(x)+(x-α)q'0(x)而rq0(α)+(α-α)q'0(α)≠0,否则q0(α)=0,与假设矛盾。这就证明了α是P'(x)的r-1重实根。
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